Geri git   Dini Forum Sitemizin tüm İslami Bilgiler özelliklerinden faydalanabilirsiniz > Egitim Ögretim > DERSLER > Matematik ~ Geometri

Karmaşık Sayılar (Kompleks Sayılar)


Dini Forum Sitemizin tüm İslami Bilgiler özelliklerinden faydalanabilirsiniz sitesindeki Matematik ~ Geometri - kategorisi altındaki Karmaşık Sayılar (Kompleks Sayılar) isimli konuyu görüntülemektesiniz.

Yeni Konu aç Cevapla
 
LinkBack Seçenekler Değerlendirme Stil
Alt 03.05.2013   #1
BuZ KeSMiŞ YüReGiM
YuReK - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 Özel Mesaj       Arkadas Listesine Ekle
K.Tarihi: Nov 2012
Üye Numarası: 44
Arkadaşlar: 5
Konular:
Mesajlar: 4.907
Rép Puanı: 20010
Rép Grafiği: YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute YuReK has a reputation beyond repute
Standart Karmaşık Sayılar (Kompleks Sayılar)

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. Karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler

z = α + bi



Genel olarak karmaşık sayılar için

"z"
harfi kullanılır. a ve b sayıları gerçel olup


i
² = -1 özelliğini sağlayan sanal birime


i
denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde


i
yerine,


j
kullanılır.



Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı



C
olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni, İngilizce'de karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak


complex
sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda


complex
sözcüğünden devşirilen


kompleks
sözcüğüne de rastlanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.



Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.



z = α + i



·
0 € R



Bir



z
karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) şeklinde gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim. z = 4 - 7i sayısı gerçel kısmı


Re(z) = 4
, sanal kısmı


Im(z) = − 7
olan


C
uzayında bir karmaşık sayıdır. Gerçel sayılar, karmaşık sayıların alt kümesi olduğu için,


R
uzayındaki cebrin hepsi dolayısıyla


C
uzayında da tanımlıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.


ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,(x² + 1 = 0 =>x² = -1) karesi –1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...
a ve b birer reel sayı ve i = √-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık (Kompleks) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = {z : z = a + bi ; a, b € R ve √-1 = i}dir.
(i = √-1 => i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.




Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = √3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.



Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 - 3i =>Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = √3 + i =>Re(Z3) = √3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 =>Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i =>Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.




Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.





Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.



Δ = b² - 4ac = (-2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²




X1,2 =





-b ± √Δ
=


-(-2) ± √16i²
=


2 ± 4i
= 1 ± 2i dir.


2a


2.1




2Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.


İ'nin Kuvvetleri


iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.



Buna göre, n € N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.



Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.





Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1



i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,



(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.


İki Karmaşık Sayının Eşitliği


Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.



Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }



Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i



Z2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.




Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,



a + 3 = 8 => a = 5
2b + 3 = a + b => 2b + 3 = 5 + b => b = 2 dir.




Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i



Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.




Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,



a – 2 = 0 => a =2,
a + b + 3 = 0 => 2 + b + 3 = 0 => b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.


Bir Karmaşık Sayının Eşleniği


Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.

Örnek:

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
2) Z2 = √2 - √3i sayısının eşleniği Z2 = √2 + √3i,
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
5) Z5 = √3 - √2 sayısının eşleniği Z5 = √3 - √2 dir.




Örnek:
Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.





Çözüm:
3 . Z – 1 = 2(4 – i)



3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.



3a – 1 = 8 => 3a = 9 => a = 3 ve
-3b = -2 => b = 2/3 tür.



O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3





Not:
  • Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( (ž) = z )
  • Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.
aLıntı






Click the image to open in full size.
YuReK isimli Üye şimdilik offline konumundadır  
Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bookmarks


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil Konuyu değerlendir
Konuyu değerlendir:


Benzer Konular
Konu Konuyu Başlatan Forum Cevaplar Son Mesaj
Kareköklü Sayılar Nedir? YuReK Matematik ~ Geometri 0 01.03.2013 11:06
Kareköklü Sayılar Nedir eSiLa Matematik ~ Geometri 0 21.02.2013 01:05
Üslü Sayılar Konu Anlatımı eSiLa Matematik ~ Geometri 0 21.02.2013 01:04
Arapça Sayılar Ve Okunuşu SıLa Lisan 0 26.01.2013 20:13
Fizik Ödevleri - Çift Yarık Deneyi eFe Fizik 0 25.12.2012 00:14


Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.6.0
Site Optimizasyon : By eFe
Sitemizde Yenimisiniz ? Yardım Konuları